lunes, 1 de junio de 2009

Aportes de Newton al calculo y Area bajo una curva




ISAAC NEWTON

Físico, matemático, astrónomo, químico, alquimista y teólogo ingles nacido en Woolthorpe (cerca de Grantham) el 25 de diciembre de 1642 y murió en Londres el 20 de marzo de 1727. Huérfano de padre, fue a la escuela hasta los 14 años de edad en que lo destinaron a las labores de granja. Viendo el escaso rendimiento de su trabajo manual y su entusiasmo por la matemática, su tío W. Ayscough logró que lo enviara a estudiar a Cambridge, donde se recibió en 1665. Apenas recibido, descubrió el teorema del binomio, que lleva su nombre; parece que pensó sus principales contribuciones teóricas entre 1665 y 1666.

Calculo Integral:

también conocido como cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como
Arquímedes, Descartes, Newton y Barrow, éste último fue el que junto con aportes de Newton, crearon el Teorema fundamental del cálculo integral que propone que la derivación y la integración son procesos inversos
Sus principales objetivos a estudiar son:


Integral indefinida
Integral definida
Cambio de variable
Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales
Teorema fundamental del cálculo
Área de una región plana
Volumen de un sólido de revolución
Métodos de integración
Integrales impropias

Aportes:

Las tres leyes de la dinámica enunciadas por Newton fueron:


1º El principio de inercia, según el cual todo cuerpo abandonado a sí mismo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme.

2º La ley del movimiento, según el cual la variación del impulso mv es producida por la aplicación de una fuerza f: d(mv)/dt=f.


3º El principio de acción y reacción, de acuerdo al cual a toda fuerza le corresponde una fuerza igual y contraria.


Otros aportes significativos de lsaac Newton fue el inventó de el Telescopio de Reflexión y estableció las Leyes del Movimiento fueron:


1."Todo objeto en el Universo a trae a todos los además con una fuerza llamada: GRAVEDAD.


2."La atracción de la Gravedad de la Tierra sobre un objeto es el peso de ese objeto.


3."Mientras mayor sea la masa de un objeto, mayor sera su atracción que ejerza sobre los demás."


4."Mientras mayor sea la distancia entre dos objetos,menor sera la atracción gravitacional entre ellos."


5."La gravedad controla y mantiene en orden a todos los cuerpos celestes que Dios colocó en el Universo."


6."La gravedad mantiene a los planetas en su lugar y control sus movimientos".

Esta fuerza de Gravedad le permite a los seres humanos vivir parados sobre ella y no señalar flotando hacia el espacio. Ante esta realidad nos preguntamos: Si la fuerza de Gravedad del Sol es suficiente para afectar el movimiento de los planetas que se encuentran a millones de kilómetros de {el, ¿Que evita que el Sol atraiga a los planetas hacia sí?,¿Quién formuló la Ley de la Gravitación Universal y para que? El gran lsaac Newton, partidario del movimiento del geocentrismo (Un universo cuyo centro es la Tierra) y el creador de la Ley Universal de la Gravedad.

AREAS.

Refiriéndonos a la historia, el cálculo integral se dio a la luz gracias al problema geométrico de hallar áreas de regiones no poligonales, es decir de regiones con aspecto curvo (imagínenselo por ustedes mismos). De hecho, vamos a mostrar, -no como los antiguos griegos-pero de la forma mas moderna, el como podemos hallar áreas haciendo uso de la integral. Comencemos dando una primera definición de la relación que existe entre la integral y el área (bajo curva en primera medida) de una región no poligonal

Area bajo una curva

concepto de área lo hemos manejado ampliamente en cursos básicos, de hecho para las figuras geométricas como el rectángulo el cálculo de su área se define como el producto de su base por su altura, del mismo modo para calcular el área de un triángulo multiplicamos su base por su altura y al resultado lo dividimos entre dos. Para calcular el área de cualquier polígono (regular e irregular) solo debemos triangular (construir triángulos en su área), calcular el área de cada uno de ellos y sumarlas...
En todas las situaciones anteriores el proceso para el cálculo del área es relativamente simple, sin embargo cuando tenemos una figura como la siguiente en la cual uno o varios de sus lados que limitan la región en la cual queremos calcular el área son curvas, no tenemos un proceso claro.
La gráfica corresponde a la función


F(x)=x3-2x+2

Definimos el área bajo la curva como:

Límite de la sumatoria de Riemann cuando n tiende a Infinito

n
Sumatoria [ f(x*)( x)]
k=1

Las áreas bajo la curva normal

El estudio detenido que acabamos de realizar, desde el punto de vista del análisis matemático, de las distribuciones normales tipificadas y sin tipificar, nos permitirá aprovechar los conocimientos que la ciencia estadística proporciona acerca de dicha distribución teórica de frecuencias para obtener ciertas conclusiones de tipo cuantitativo,
Del mismo modo, de manera conjunta las diversas áreas existentes bajo una curva de distribución normal tipificada o no en función de las unidades de desviación típica o “standard” que se adicionen a la media aritmética por el eje de abscisas. Esto es:
En la siguiente tabla se presentan las áreas: (multiplicadas por 1.000) bajo la curva de distribución normal. A saber:
De aquí, pueden resolverse las siguientes cuestiones:

a) Área total bajo la curva normal y probabilidad de que la variable ¥psicológica tome un valor cualquiera de su recorrido o campo de variación (de - ).¥a +
La simple observación de la tabla anterior nos dice que el área bajo la curva normal, desde 0 a 3'9, toma el valor:
0'5»499'95 / 1.000 = 0'49995
Por la simetría de la curva de Gauss, ésta es la mitad del área total, que vale la unidad. Por otra parte, la probabilidad de que la variable psicológica en estudio x tome cualquier valor es la certeza absoluta; por ello, su valor es la unidad, en virtud del axioma o postulado que reza que “la probabilidad de un suceso cierto vale 1” (probabilidad total).

b) Área bajo la curva determinada por las ordenadas en los extremos de los intervalos (1, 2) y (-1, 2). las áreas bajo la curva comprendidas entre el eje de ordenadas (x=0) y las ordenadas x=2 y x=1, son, respectivamente:
477 / 1.000 = 0'477 y 341 / 1.000 = 0'341 ;
entonces, el área pedida será la diferencia:
que es también la probabilidad de que la variable psicológica x tome un valor comprendido entre 1 y 2, por la propiedad aditiva del intervalo de integración en las integrales definidas.
El área comprendida entre las ordenadas x = -2 y x = -1 es la misma anterior y la probabilidad de que x tome un valor del intervalo (-2, -1) es también igual, en virtud de la simetría de la figura, a:
y P(-2 < x =" a," x =" 0'6" x =" 0'7," a =" 0'68,">


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